Durée
30h Th, 20h Pr
Nombre de crédits
| Master en sciences mathématiques, à finalité (années paires, pas organisé en 2023-2024) | 8 crédits |
Enseignant
Langue(s) de l'unité d'enseignement
Langue française
Organisation et évaluation
Enseignement au premier quadrimestre, examen en janvier
Horaire
Unités d'enseignement prérequises et corequises
Les unités prérequises ou corequises sont présentées au sein de chaque programme
Contenus de l'unité d'enseignement
La théorie ergodique est un domaine des mathématiques qui étudie l'évolution d'un système dynamique au cours du temps. Si X est un ensemble et T:X->X une application, on s'intéressera au comportement de T^n(x) pour x dans X, lorsque n varie. Le type de questions auxquelles on s'attaquera dépendra des propriétés de X et de T. Dans ce cours, nous étudierons deux types de tels systèmes: ceux dits "topologiques" (X est un espace compact métriqué et T est une application continue) et ceux dits "mesurés" (X est un espace de probabilité et T une application mesurablee et préservant la mesure). Un exemple de résultat classique est le théorème ergodique de Birkhof fait un lien entre mesure "spatiale" d'un ensemble mesurable A et mesure "temporelle": sous certaines conditions, presque tous les points du système visitent A (sous l'action de T) avec une fréquence égale à la mesure de A. Nous nous intéresserons notamment à appliquer les résultats rencontrés en théorie des nombres.
Acquis d'apprentissage (objectifs d'apprentissage) de l'unité d'enseignement
L'étudiant maîtrisera des notions fondamentales exposées lors du cours, ainsi que les preuves et raisonnements sous-jacents. Il sera capable de les présenter clairement et de façon synthétique. Il pourra également les appliquer pour résoudre des exercices.
Savoirs et compétences prérequis
Connaissances mathématiques de base acquises en bachelier.
Des connaissances en topologie et en théorie de la mesure sont un plus, mais nous reverrons les notions manquantes.
Activités d'apprentissage prévues et méthodes d'enseignement
Cours théorique et séances d'exercices avec "tableau et craies" ou projection, en interaction avec les étudiants.
Mode d'enseignement (présentiel, à distance, hybride)
Le cours est consacré principalement aux aspects théoriques. Les séances de répétition permettent de présenter la résolution d'exercices et l'illustration ou la concrétisation des concepts vus au cours.
Le cours et les répétitions seront donnés en présentiel, mais selon l'évolution de la situation sanitaire, pourraient passer en virtuel.
Selon le nombre d'étudiants inscrits au cours, celui-ci pourrait prendre la forme d'un groupe de lecture dans lequel les étudiants seraient invités à préparer et présenter certains points de la matière.
Lectures recommandées ou obligatoires et notes de cours
Livres de référence:
- M. Einsiedlr, T. Ward. Ergodic theory - with a view toward number theroy. Springer (2011)
- P. Walters. An introduction to ergodic theory. Springer (1982)
- K. Dajani, C. Kraaikamp. Ergodic theory of numbers. The Mathematical Association of America (2002)
Modalités d'évaluation et critères
Un examen oral dédié à la théorie (énoncés et preuves de résultats, avec discussion) mais aussi aux applications directes de celle-ci sera organisé. Les éventuels travaux personnels réalisés pendant l'année pourront être pris en compte pour la note finale.
En cas de cours sous forme de groupe de lecture, les présentations et travaux personnels des étudiants seront pris en compte.
Modalité d'évaluation arrêtée le 11/12/2020 : l'examen oral se déroulera en présentiel
Stage(s)
Remarques organisationnelles et modifications principales apportées au cours
Contacts
J. Leroy, Institut de Mathématique (B37) - Allée de la découverte 12 - Sart Tilman, 4000 Liège Tél. : (04) 366.94.70 - E-mail : j.leroy@uliege.be ;