Programme des cours 2017-2018
MATH0070-1  
Algèbre I, 2e partie
Durée :
30h Th, 25h Pr
Nombre de crédits :
Bachelier en sciences mathématiques6
Nom du professeur :
Michel Rigo
Langue(s) de l'unité d'enseignement :
Langue française
Organisation et évaluation :
Enseignement au deuxième quadrimestre
Unités d'enseignement prérequises et corequises :
Les unités prérequises ou corequises sont présentées au sein de chaque programme
Contenus de l'unité d'enseignement :
Le cours est consacré à l'étude de l'algèbre linéaire en dimension finie. Une part importante du cours couvre les applications linéaires (image, noyau, théorème de la dimension,...), les vecteurs propres et les valeurs propres d'un endomorphisme, une théorie détaillée de la diagonalisation. La notion de dual d'un espace vectoriel est esquissée. On étudie aussi les matrices normales, hermitiennes et unitaires et leurs applications. Enfin, on présente aussi les polynômes et fractions rationnelles à coefficients réels ou complexes : lemme de Gauss, théorème fondamental de l'algèbre, formules de Viète, anneau des polynômes sur un champ quelconque et ses idéaux (en particulier, notion d'anneau principal), règle de Descartes, décompostion en fractions simples.
Acquis d'apprentissage (objectifs d'apprentissage) de l'unité d'enseignement :
Au terme de ce cours, l'étudiant devra avoir acquis la rigueur indispensable à tout raisonnement mathématique et apprivoisé l'abstraction inhérente aux structures et concepts manipulés. Il/elle sera en mesure d'argumenter ses affirmations et maîtrisera les principaux concepts issus de l'algèbre linéaire. L'étudiant disposera d'un arsenal de résultats théoriques compris en profondeur et pour lesquels il/elle sera capable d'en fournir et d'en expliquer les preuves. Il/elle pourra mettre en oeuvre plusieurs résultats du cours pour résoudre un exercice de réflexion. Ainsi, l'étudiant sera à même de tirer parti des représentations matricielles des applications linéaires, de la diagonalisation (en ce compris le cas des matrices normales, hermitiennes et unitaires). En outre, il manipulera avec aisance les polynômes et les fractions rationnelles (par exemple, recherche d'un pgcd, décomposition en fractions simples, comportement asymptotique,...). En particulier, l'étudiant sera aussi en mesure d'exploiter les techniques acquises dans le cours d'algèbre pour résoudre des problèmes liés à d'autres branches des mathématiques ou de la physique : étude de lieux géométriques, recherche d'extrema pour des fonctions de plusieurs variables, applications de la diagonalisation aux systèmes d'équations différentielles, aux chaînes de Markov ou encore en combinatoire (par exemple, étude qualitative du nombre de chemins de longueur n dans un graphe) et en statistiques (par exemple, analyse en composantes principales), calcul de la puissance n-ième d'une matrice, ...
Savoirs et compétences prérequis :
Une maîtrise parfaite des connaissances mathématiques vues dans le cours de "Algèbre 1ère partie" (MATH0069-1) est souhaitée. En particulier, les notions relatives aux espaces vectoriels seront utilisées intensivement.
Activités d'apprentissage prévues et méthodes d'enseignement :
Les séances de répétition sont principalement dédiées à la résolution d'exercices se rapportant à la matière enseignée. Ces séances permettent également d'obtenir des compléments d'information ou l'illustration de concepts présentés au cours théorique.
De plus, des préparations de listes d'exercices seront systématiquement demandées pour la répétition suivante.
Mode d'enseignement (présentiel ; enseignement à distance) :
L'horaire régulier du cours et des séances de travaux pratiques sera communiqué aux étudiants en début d'année. Cours théorique avec "tableau et craies" en interaction avec les étudiants. Ces cours sont "podcastés" (les étudiants auront donc accès aux enregistrements). Dans les séances d'exercices, les étudiants sont face à des exercices qu'ils doivent résoudre.
Lectures recommandées ou obligatoires et notes de cours :
Des notes reprenant l'ensemble de la matière enseignée au cours théorique seront distribuées aux étudiants en début d'année. Ces notes sont amplement suffisantes et téléchargeables sur http://www.discmath.ulg.ac.be/ Les étudiants souhaitant disposer d'autres sources d'information peuvent par exemple consulter :
  • F. Liret, D. Martinais, Algèbre Licence 1ère année MIAS-MASS-SM, Dunod, 2002.
  • F. Liret, D. Martinais, Algèbre et Géométrie 2e année, Dunod, 2002.
  • David C. Lay, Algèbre linéaire et applications, 4e édition, Pearson France (2012).
  • H. Roudier, Algèbre linéaire, CAPES & Agrégation, deuxième édition, Vuibert, 2003.
Modalités d'évaluation et critères :
L'examen en session comporte une partie orale et une partie écrite. La partie écrite porte essentiellement sur la résolution d'exercices. La partie orale porte sur la théorie (en particulier, il est attendu que les étudiants connaissent les preuves et les justifications des résultats énoncés) et des applications immédiates de celle-ci.
Stage(s) :
Remarques organisationnelles :
Des compléments d'information sont disponibles sur http://www.discmath.ulg.ac.be/ On peut en particulier y consulter le journal de bord de l'année en cours et aussi celui des années précédentes.
Contacts :
M. Rigo
Institut de Mathématique (B37) -
Grande Traverse 12 -
Sart Tilman, 4000 Liège
Tél. : (04) 366.94.87 -
E-mail : M.Rigo@ulg.ac.be
Notes en ligne :
Notes de cours
ensemble des notes